드무아브르정리

소개글

드므아브르정리에 대해

목차

1. 들어가기
2. Complex Power(복소수 거듭제곱)란 무엇인가?
3. De Moivre 정리의 복소수 범위까지의 확장
4. 마무리
참고문헌

본문내용

1. 들어가기
고등학교 시절 복소수의 극형식을 배우고 나서 아래의 정리 1과 같은 De Moivre의 정리를 배웠다. 그리고 그것을 이용하여 복소수의 거듭제곱을 쉽게 계산할 수 있었다. 그런데 과연 De Moivre 정리는 이 정수일 때만 성립하는 것일까? 을 유리수나 실수, 더 나아가 복소수까지 확장할 수는 없을까?
이것에 대해 알아보기 위해 먼저 De Moivre 정리가 무엇을 말하고 있는 것인지 다시 생각해 보자. 는 임의의 복소수를 극형식으로 나타낸 것이므로 De Moivre 정리는 복소수의 거듭제곱을 매우 간단하게 계산할 수 있도록 해주는 정리라고 볼 수 있다.


정리 1. De Moivre의 정리(고등학교 version)

2. Complex Power(복소수 거듭제곱)란 무엇인가?
실수 범위에서 로 정의할 수 있듯이 복소수 범위에서 를 다음과 같이 정의 할 수 있다.
.
이 때 [S], 118쪽
로 ‘다가함수’이기 때문에 는 여러 가지 값을 가진다. 즉,



이 함수는 다음 각각의 조건에 따라 서로 다른 개수의 값을 가진다. (증명 추가 예정)

⑴ 인 경우, single-valued function
⑵ 인 경우, finite multiple-valued function
⑶ 인 경우, infinite multiple-valued function


이렇게 의 범위를 확장하여 생각해 보면, 당연히 정리 1의 De Moivre 정리에서 이 정수일 경우에는 의 값이 하나임을 확인할 수 있다. 그러나 우리는 이 정수가 아닌 복소수일 때를 생각해보고자 한다. 혼동을 피하기 위해 이 정수가 아닌 복소수인 경우에 라고 하자. 이 때 의 값이 하나가 아닌 것이 문제가 됨을 알 수 있다.

참고 자료

[S] E. B. Saff ․ A. D. Snider, Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science 3rd ed., Prentice Hall, 2003.