[공학]최소자승법

소개글

최소자승법의 증명에 대해 기술되었습니다. 수식으로 전개되어있습니다.
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본문내용

통계학이나 자연 과학에서 측정되는 실험치를 가지고 그 실험치를 잘 대표할 수 있는 함수를 구해 내는 방법 중의 하나가 Lagrange에 의해서 고안되어 알려진 최소 자승법이다. 측정값을 기초로 해서 적당한 제곱합을 만들고 그것을 최소로 하는 값을 구하여 측정결과를 처리하는 방법, 즉 오차 제곱합을 최소화하는 추정량을 구하는 방법이다.

이때 우리가 택할 수 있는 점근 함수로는 여러 가지 곡선을 위의 그림과 같이 가정할 수 있다. 이제 실제 자료에 잘 적합 시킬 수 있는 함수를 라 하면 점 에서 함수 에 의해서 계산된 값과 실험치 와의 차이(편차)는

(1)

이다. 실험치가 개 있다면, 개의 점에서 얻어지는 error를 제곱하고, 이를 전부 합하여 Error라고 하자. 즉,

(2)

여기서 를 개의 함수로 선형 결합된 다항식이라고 하면,

(3)

가 된다. 이 식에서 라 놓으면

(4)
따라서, Error는 의 함수로 생각할 수 있다.
Error가 최소가 되는 필요충분조건은,

(5)
이다. 여기서 . 식(4)를 식(2)에 대입하고, 식(5)를 이용하여 다시 정리하면 다음과 같다.






(6)

식(6)을 정리하면

참고 자료

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