[수학] 블랙-숄즈 미분방정식 유도

소개글

Black-Scholes 미분방적식에대한 옵션가격결정모형에대하여는 설명은 여러곳에서 찾을수 있지만. 정작 그 유도 과정은 외국의 site(노벨상 site까지 뒤져보았음)에서도 찾을수가 없었으나, 일본에서 발간된책에 내용이 있다는 정보를 입수 여러곳의 도서관을 수소문한 끝에 찾아냈음..감격감격...그러나 이것을 파일로 작성하는데 수식작성에 익숙치 않은 탓인지 찾는것 만큼 고생했습니다. 잘 사용하시길...

목차

1.유도과정

2.옵션가격결정 모형 Black-Scholes 공식

3.옵션가격결정 모형 Black-Scholes 공식의 가정

4.옵션가격결정 모형 Black-Scholes 공식의 성질

본문내용

*블랙-숄즈 미분 방정식 유도과정
옵션의 원자산을 주기로 하고, 시점 t에서의 주가를 S = S(t), 옵션의 가치를 V(S, t)라 하자. 콜옵션인 경우에, 만일 주가 S가 상승하면 V(S, t)도 상승한다. 반대로, 만일 S가 하락하면 V(S, t)도 하락한다. 풋옵션인 경우에, 만일 주가 S가 상승하면, V(S, t)는 하락한다. 반대로, 만일 S가 하락하면 V(S, t)는 상승한다.주식을 ⊿단위만큼 판 현금으로 옵션을 한 단위 구입한다고 하면, 자산은 V(S, t)만큼 증가하고 S⊿만큼 하락하므로, 포트폴리오의 가치는 다음과 같다.
II = V(S, t) - S⊿ … ①
주가 S가 다음과 같은 기Brown운동을 따른다고 가정한다.
dS(t) = μS(t)dt + σS(t)dW(t) … ②
편의상, 이 식을 다음과 같이 간결하게 표현한다.
dS = μSdt + σSdW … ③
따름정리에 의해서 다음과 같은 식이 성립한다.
※ 옵션가격결정 모형 Black-Scholes 공식의 가정
① 주가의 행태는 앞에서 설명한 대수 정규분포를 따른다.
② 주가의 기대수익률과 변동성은 일정하다.
③ 거래비용과 세금은 없고, 모든 증권은 분할할 수 있다.
④ 옵션의 만기일까지 배당은 없다.
⑤ 무위험 차익거래기회는 존재하지 않는다.
⑥ 증권의 거래는 연속적으로 이루어진다.
⑦ 투자자는 무위험 이자율로 차입하거나 대출할 수 있다.
⑧ 단기 무위험 이자율은 일정하다.
※ 옵션가격결정 모형 Black-Scholes 공식의 성질
① S가 매우 커지면 C는 S - Xℯ-rT에 수렴하고 P는 “0”으로 수렴한다.
② S가 매우 작아지면 C는 “0”으로 수렴하고 P는 Xℯ-rT - S로 수렴한다.

참고 자료

Black-Scholes 미분방적식에대한