[수학] 공리란 무엇인가?

소개글

공리에 대한 보고서 입니다..
정성스럽게 작성했으니..
많은 도움이 되실 겁니다..

목차

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● 공리(axiom)란 무엇인가?
● 공리의 요소
● 공리에 대한 입장
● 공리의 요건
● 공리의 근거
● 집합과 공리의 방법
● 공리론적 수학의 발달

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본문내용

유클리드 원론의 공리는?
기원 전 480년 경 프로타고라스라는 철학자 있었는데, 그는 소피스트(궤변가)의 대표적 인물이었으며, 뒤이어 많은 궤변술을 가르치는 사람들이 출현하게 되었다. 그들은 '약한 변론을 강하게 변론한다'고 선전하면서 변론 술을 사람들에게 가르쳤다. 이와 같은 상황 아래에서 변론을 논리적으로 진행하려는 기운이 높아지게 된 것이라고 생각된다.

그리하여 취급하려는 대상의 성격을 명확히 정하여 전제로서 인정되는 것을 확실하게 내세워, 그들로부터 논리만을 써서 유도하는 방법이 수학에 적용된 것이다.
유클리드 원론에서는 위와 같이 정의를 정하고 10개의 공준과 공통개념을 들었다.
[공 준]
1. 임의의 점에서 임의의 점에 직선을 긋는 것.
2. 유한의 직선을 계속해서 직선으로 연장하는 것.
3. 임의의 중심과 거리(반지름)로 원을 그리는 것.
4. 모든 직각은 서로 같다는 것.
5. 1개의 직선이 두 개의 직선과 만나서 같은 쪽에 있는 두 각의 합이 2직각보다 작을 때, 이 두 직선은 한없이 연장하면 결국 2직각보다 작은 각이 있는 쪽에서 만난다.
[공 리]
1. 같은 것에 같은 것은 서로 같다.
2. 같은 것에 같은 것을 더하면 그 결과는 같다.
3. 같은 것에서 같은 것을 빼면 그 나머지는 같다.
4. 서로 겹쳐지는 것은 서로 같다.
5. 전체는 부분보다 크다.
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● 공리(axiom)란 무엇인가?

명제의 참/거짓은 가설에 의하여 지배를 받기 때문에 항상 맥락 적이다. 따라서 주어진 명제의 전제 또는 가설이 참이라는 것이 보장이 되면 결론이 참임을 증명할 수 있을 것이다. 그러나 이렇게 거슬러 올라가면 끝이 없다. 따라서 증명 없이 참을 보장하는 최초의 명제의 존재가 요구된다. 이 최초의 참인 명제들을 공리라고 부른다. 공리들은 하나의 명제이므로 단어들로 구성되어 있다. 이 단어들을 정의하기 위해서는 또 다른 명제가 필요하다. 결국 이렇게 되면 순환론에 빠지게 된다. 이러한 순환론을 제거하기 위하여 공리를 이루는 용어들은 정위되지 않는 용어로 구성된다. 예를 들면 집합론을 구성하는 공리계 중에서 Bernays-Godel-Neumann 공리계가 있다. 이 공리 계에서 무정의 용어는 족(class)과 ∈가 무정의 용어이다. 유클리드의 원론에 있는 것에 의하면 유클리드 평면기하학의 공리 계의 무정의 용어들은 이러한 원칙이 주어져 있지 않다.
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참고 자료

없음