[프랙탈이론] 프랙탈(Fractal)이론에 대하여

등록일 2003.06.11 한글 (hwp) | 4페이지 | 가격 1,500원

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목차

(1) Fractal이란?
(2) 만델브로트와 프랙탈 (Mandelbrot and Fractal)
(3) 홀쭉이와 뚱뚱이 (Thin fractal vs. Fat fractal)
(4) 스메일의 말발굽 사상(Smale's horseshoe map)
(5) 코흐곡선과 프랙탈 차원
(6) 자기유사성 (Self-similarity)

본문내용

- (1) Fractal이란?
17세기 후반 자연의 운동 현상을 미분방정식으로 표현하여 해석한 뉴턴 역학의 대두로 정량 과학은 확고한 발전적 토대를 갖추었다. 이후 3백 년 동안 과학자들은 미분방정식의 해를 구하여 자연의 운동을 이해하려는 부단한 노력을 기울여 왔다. 그 결과가 오늘날의 과학기술 문명이다. 자연현상을 모델화한 모든 미분방정식은 거의 대다수가 비선형 방정식으로 나타난다. 하지만 지난 3백년간의 과학적 노력은 해석 가능한 선형방정식에 입각하여 자연현상의 비선형성을 해결하려는 노력이었다. 그러나 비선형성이 내포하고 있는 특성을 파악하지 못하는 우를 범하고 있음이 20세기 후반에 나타난 카오스(chaos) 이론에 의해 밝혀졌다. 일반적으로 간단하게 표현되는 식에서는 규칙적인 단순한 운동이 일어났고, 많은 입자들로 이루어진 복잡한 계에서는 카오스 운동이 일어난다고 생각한다. 또 불규칙한 계는 불안정한 상태로 조그만 외적 영향에 의해 안정된 상태로 옮겨간다고 이해해왔다. 이러한 선형적 해석법에 입각한 사고에 중대한 전환을 가져온 결과가 1963년 MIT 기상학 교수인 에드워드 로렌츠(Lorenz, Edward Norton, 1917 )가 고안한 공기의 대류 모델 방정식(로렌츠 방정식)에 의해 관찰됐다. 이 방정식을 매개변수를 변화시켜 가면서 풀면 특정한 값에서부터 결코 주기적이 아닌 복잡한 운동을 볼 수 있다. 그러나 이들 운동은 무질서한 운동처럼 보이나 파악하기에 따라서는 일정한 규칙에 따라 일어나고 있음을 볼 수 있다(로렌츠 끌개). 이와 같은 카오스 운동은 후에 다양한 비선형 운동 방정식계에서도 나타남이 속속 밝혀졌으며 이를 우리는 기이한 끌개(strange attractor)라 부른다.
(2) 만델브로트와 프랙탈 (Mandelbrot and Fractal)
기이한 끌개를 파악하는 하나의 개념이 IBM연구원이면서 하버드의 객원교수로 있던 만델브로트(Benoit Mandelbrot, 1924 )에 의해 제안되었다. 그것이 바로 프랙탈 기하학(Fractal geometry)이다. 프랙탈은 영어 단어 fracture(부숨)와 fraction(파편)에서 유래된 조어이다. 간단한 복소변환 규칙이 상상할 수 없을 정도의 복잡한 구조를 만들어 낸다. 프랙탈은 자연계의 구조적 불규칙성을 기술하고 분석할 수 있는 새로운 기하학으로, 동력학에서 다양하게 나타나는 카오스 형상을 정량적으로 기술할 수 있는 새로운 언어를 제공하고 있다. 어린이들은 학교에 들어가면, 직선 동그라미 세모 네모 등을 그리며 기하학을 배운다. 하지만 인위적이 아닌 자연 상태의 어떤 모양도 유클리드기하학적 형상을 보이지 않는다. 자연의 형상을 근사적으로 보아 산을 대충 원뿔로, 나무는 삼각형에 막대가 달린 모양으로 묘사 하게 되지만 이는 정확한 묘사가 아니다. 자연의 불규칙성을 간파한 만델브로트는 "구름은 둥그렇지 않으며 산은 원뿔 모양이 아니다. 해안선은 부드러운 곡선이 아니며 번개는 결코 직선으로 퍼져 나가지 않는다고 주장했다.
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