뉴턴의 전진보간공식,후퇴보간공식

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ⅰ) 등간격인 경우
일 때, 의 값이 이 되는 3차의 다항식 를 구해보자.
우선 인 경우를 생각했을 때, 함수 의 전진계차를 표로 나타내면 다음과 같다.
구하는 다항식은
㉠
로 표시된다. 여기서 을 구한다. 에 를 차례로 대입하여
, 이므로 이고,
이므로
이다. 이를 식 ㉠의 우변의 에 을 대입하여
이므로
따라서 구하는 함수 는 이다. 일반적으로 일 때, 이고,
(일정)인 차의 다항함수 는 다음과 같이 나타내진다.
㉡
일반적인 경우의 증명은 다음과 같이 수학적 귀납법으로 한다. 이므로,
이므로 이다. 따라서
㉢
그런데
에서 이다.
이라 할 때
식 ㉢에 의하여
이므로 이것으로 Newton의 전진차분 보간공식 ㉡이 유도되었다.

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