전남대학교 수치해석 이분법 할선법

소개글

전남대학교 기계과 수치해석 레포트 입니다 레포트 반영 비율이 40%이기 때문에 레포트가 매우 중요한 과목중 하나입니다.

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본문내용

수치해석 교재 5-18번 문제를 이분법과 할선법을 사용하여 접근한 것입니다.

이분법과 할선법을 소개하고 문제 풀이의 접근을 설명한 후 M-file을 작성하여 문제를 풀어나갑니다.


뉴튼랩슨 소개입니다.


▶ Newton-Rahpson 법
일반적으로 5차 이상의 방정식의 일반적인 해를 구할 수 없다는 사실은 잘 알려져 있다. 하지만 컴퓨터로 종종 5차 이상의 방정식의 해를 구할 필요가 생기게 된다. 이 때, 사람들은 뉴턴(Issac Newton) 과 랩슨(Joseph Raphson) 이 개발한 뉴턴-랩슨법, 또는 그냥 뉴턴 법이라 알려진 방법을
그림.3 Newton-Rahpson 법 개략도
이용하면 해의 근사치를 쉽게 구할 수 있다. 뉴튼 랩슨법은 상당히 단순함에도 불구하고 다항식의 해에 `매우 빠르게` 근접할 수 있다. 대부분의 경우 4 ~ 5회 정도 시행하게 된다면 10-⁴정도의 오차 내로 해를 구할 수 있게 된다. 어떤 함수 ƒ : [a, b] → R 가 구간 [a, b] 에서 미분 가능하다고 하자. (이 때, 이 함수의 해가 구간 [a,b] 안에 있다고 가정하자) 그렇다면 해로 추정되는 값 xn 을 생각할 수 있다. 따라서 xn 에서의 접선을 구해서 그 접선의 x 절편 xn+1 을 구한다면 그 점은 xn 보다 좀더 해에 근접하여 있을 것이다. (위 그림에 잘 나타나어 있다) 마찬가지 방법으로 위 작업을 계속 시행해 나간다면 결과적으로 위 함수 f 의 해 x 에 수렴하게 될 것이다.
그림.4 Newton-Rahpson 유도과정
▶ 할선법 과 수정된 할선법
할선법은 도함수의 Newton-Raphson법을 수행하는데 도함수 값이 구하기 어려울 경우 도함수의 계산이다. 다항식이나 대부분의 함수에서는 문제되지 않는다고 하더라도 어떤 함수에서는 도함수를 계산하는 것이 매우 어려울 수 있다. 그러한 경우에 도함수는 후향 유한차분으로 근사시킬 수 있다.

참고 자료

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