유한요소법(FEM)

소개글

유한요소법(FEM)

목차

유한요소법(FEM)
유한차분법(FDM)
경계조건과 초기조건

본문내용

수학적으로, 유한요소법(Finite element method) FEM은 편미분방정식(PDE)이나 적분, 열전달방정식 등의 근사해를 구하기 위해 쓰여 왔다. 해석접근은 정적인 문제에서 미분방정식을 제거하거나, 편미분방정식을 상미분방정식으로 변환하는 것으로 접근을 한다. 접근법은 유한미분에서 사용되는 기법과 동일하다.
편미분방정식을 풀기위한 선행작업으로는 대상식을 예측할 수 있는 식을 만드는 것이다. 그러나 수치적안정(벡터합과 같이 서로 평형을 이루는 경우)의 경우에서 입력값에서 발생한 에러는 지속적으로 축적되어 결과값을 의미없게 만드는 경우가 발생한다. 장단점이 많이 있지만 문제를 해결하기 위한 방법은 다양하다. 유한요소법은 자동차나 송유관과같은 복잡한 분야에서 상당히 유용하다. 문제의 성격이 변화하거나 요구 정밀도가 바뀔때라도 쉽게 대처할 수가 있다. 예를 들어 날씨예측시뮬레이션의 경우 면적이 넓은 바다보다 육지에서의 날씨예측이 중요하며 이러한 경우 유한요소해석이 유용하게 사용될 수 있다.

역사
유한요소법은 복잡한 탄성, 구조해석등의 문제를 해결하기 위해 시작되었다. 초기개발은 Alexander Hrennikoff (1941)와 Richard Courant (1942)가 시작하였는데, 그들이 접근한 방식은 연속적인 범위를 가지는 문제를 요소망(mesh)라는 세분화된 범위로 나누었다. Hrennikoff는 범위를 격자로 세분화하였으며 Courant는 타원적분을 위한 편미분방정식을 유한한 삼각형영역으로 나누어서 문제해결을 하였다. Courant는 실린더에서의 뒤틀림문제를 해결하기위해 위와 같은 방법을 사용하였다. 유한요소법의 발전은 1950년대 중후반에 시작되었고, 항공기와 구조해석에서 주로 사용되었다. 1960년대에는 도시공학에 사용되었으며 1973년에 출판된 An Analysis of The Finite Element Method에서 물리적시스템을 수치적으로 모델링하는 응용수학의 한분야로 자리잡게 되었다.

◎수학적 논의
여기서는 유한요소법을 2개의 샘플문제를 가지고 나타내도록 하겠다. 이글을 읽는 사람이 미분적분, 선형대수에 익숙하다는 것을 가정하고 기술적 논의를 진행할 것이다.

참고 자료

없음