2009 수학과 교재연구 및 지도법(문자와 식)

목차

수학과 교재연구 및 지도법
『제 2장. 문자와 식』

1. 이차방정식 및 활용
① 방정식 풀이의 역사 : 디오판토스 - 알 콰리즈미 - 카르다노 - 바스카라 - 페로
- 페라리 - 루피니 - 아벨 - 갈루아
② 다양한 방정식의 풀이
- 등식의 성질 / 공리적 방법을 이용한 풀이
- 거꾸로 풀기
․ 분석 / 종합
․ 검산의 필연성 (무연근)
③ 아벨의 증명과 갈루아 이론
④ 방정식 풀이 시 근의 범위 명확화의 필요성
(예 : 실근을 구하라, 복소근을 구하라 등)
이차함수 와 사차함수 의 그래프가 다음과 같을 때, 방정식의 모든 근의 합을
구하시오. (’08년 4월 경기도 교육청)

2. 다항식의 최대공약수와 최소공배수
- 다항식에서 인수는 수인수를 제외한다.

3. 절대부등식의 의미
① 산술 ․ 기하 ․ 조화평균과의 관계
② Cauchy-Schwartz 부등식

4. 다양한 의미의 문자사용
- 자리지기(place holder)로서의 미지수(unknown)
- 다가이름(polyvalent)으로서의 부정소(indeterminate)
- 독립변수, 종속변수, 매개변수
- 임의의 대상, 임의의 기호(형식적 조작의 대상)

5. 문자 오개념 및 인지장애
① 문자의 오개념
② 오류분석의 중요성
③ 문자식 학습을 어려워하는 이유
④ 변수 개념과 인지장애
⑤ 부진아들이 보인 오류의 특징
⑥ ‘문자와 식’ 관련 질문에 대한 분석

6. 학교수학과 실세계 사이의 연결
① 생활속의 수학
② 수리논술

본문내용

1. 이차방정식 및 활용
① 방정식의 역사적 개관
방정식의 개념은 오랜 역사를 갖고 있기는 하지만, 초기의 기록이 잘 알려지지 않았다. 방정식이라는 용어는 1세기경 중국 한나라 때의 수학책인 구장산술의 제 8자인 방정장에서 유래되었다. 여기서 ‘방(方)’이란 네모 또는 사각을 뜻하는 말이고, ‘정(程)’은 할당한다. 또는 재어 본다는 뜻으로서 ‘사각으로 할당한다’는 뜻이다.
최초의 일차방정식은 아메스 파피루스(Ahmes papyrus)에 등장한다. 여기서 파피루스는 1개의 미지량을 갖는 일차방정식에 관련된 문제와 그 해결방법을 서술하였다. 또 그리스의 수학자인 디오판투스(Diopahntus)는 ‘산학(Arithmatica)`이라는 13권으로 된 수학책에서 기호를 사용하여 일차방정식의 해법을 기술하였으며 이항, 동류항의 정리와 같은 계산방법을 제시하였다. 그 이후 인도의 아리아바타(Aryabhata)는 이차방정식을 생각해 내고, 브라마굽타(Brahmagupta)는 음수까지 생각한 이차방정식을 다루었다. 아라비아의 수학자 알 콰리즈미(Alkhwarizmi)는 이항을 al-jabr라고 하였는데, 이것이 후에 대수학을 의미하는 algebra의 어원이 되었다.
삼차방정식은 16세기 중엽 이탈리아의 수학자 타르탈리아(Tartaglia)와 허수를 발견한 카르다노(Cardano)에 의해서 해결되었다. 바스카라는 1150년에 이차방정식에 두 근이 있고, 음의 근이 존재함을 인식한 최초의 수학자였다. 삼차방정식의 해법에 처음으로 성공한 사람은 페로이다. 또한 사차방정식은 카르다노의 제자인 페라리(Ferrari)에 의하여 해법이 연구되었다.
삼차․사차방정식의 해법이 발견된 후에 약 300년간 오일러(Eluer), 라그랑주(Lagrange), 가우스(Gauss) 등 많은 수학자들이 오차 이상의 방정식의 해법에 관심을 가졌고 이 문제의 해결은 노르웨이의 수학자 아벨(Abel)과 프랑스의 수학자 갈루아(Galois)에 의하여 이루어졌다. 루피니는 5차 이상의 방정식은 대수적으로 풀 수 없다는 증명을 발표하였으나, 그 증명에는 중대한 실수가 있음이 밝혀졌다. 그러나 아벨은 1826년에 “5차 이상의 방정식은 일반적으로 대수적으로 풀 수 없다.”라는 정리를 증명하였다. 그러나 해석적인 방법으로는 n차 방정식은 n개의 근을 가짐을 증명할 수 있다. 이를 가우스의 ‘대수학의 기본정리’라고 한다. 갈루아는 “5차방정식의 일반해를 구할 수 없다”를 증명하는 과정에서 ‘군’의 개념을 생각해냈다. 방정식의 해법에 관련된 수학의 새로운 영역으로 ‘군’이 탄생하였던 것이다. 이와 같은 독창적인 갈루아의 생각은 오늘의 갈루아 이론의 바탕이 되었고, 현대 수학에 막대한 영향을 주었다.
이집트의 파피루스, 바빌로니아의 점토판에서 취급되기 시작한 방정식은 디오판투스의 다항방정식을 거쳐 비에트(Viete), 데카르트(Descartes)에 의하여 현대와 같은 체계를 확립하였다.

참고 자료

조선대 교육대학원 석사학위논문 : 방정식 지도에 관한 연구 ( 정순화, 2006 )
참고문헌 : 수학 7-가 교육용지도서, 170쪽~183쪽( 한성교육연구소 )
문자 및 변수지도 시 발생하는 오개념의 분석(단국대 교육대학원 / 반혜진 / 2006)
변수 개념의 교수학적 분석 및 학습-지도 방향 탐색(우정호, 김남희 / 1996)
최윤경(2003) 「문자와 식 · 변수지도에서의 오개념지도」 아주대학교 교육대학원 석사학위논문
박미연(2002) <문자와 식에 대한 오류분석을 통한 효율적인 지도방안 연구>, 충남대학교 교육대학원 석사학위논문
이연미(2006) 「문자와 식」단원의 오개념과 Freudenthal의 수학화를 통한 지도, 홍익대 대학원 석사학위논문
차승진(2001) ‘문자와 식’ 단원에서 학습능력 수준에 따른 오류분석과 교정에 관한 연구(중학교 1학년을 대상으로), 한국교원대학교 대학원 석사학위논문
수학교육과정과 교재 연구(경문사), 김남희 외 5명
수학사랑 (http://www.mathlove.org/pds/materials/stories.html)
`과학동아 `99년 12월호`의 [생활속의 수학이야기]에서 광운대 허민교수가 쓴 글의 일부를 발췌 .
“수학7-가”, “수학8-가”, 디딤돌, 2000
손경일, “수학사와 수학 교수-학습에 관한 연구